שיעור 78: קשר פונקציות-שאלה קצרה 2024

מציאת נקודות פיתול ותחומי קעירות וקשר f (x) f'(x) f" (x)

1🔵 סעיף 1: תחומי העלייה והירידה של הנגזרת f′(x) לפי גרף f″(x)

2🟣 סעיף 2: כמה נקודות קיצון וכמה נקודות פיתול יש ל-h(x) כאשר h′(x) = f″(x) − e

נתונות הפונקציות f(x), f′(x) ו-f″(x), המוגדרות לכל x ≠ 0. בסרטוט מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה f″(x). לגרף יש שלוש נקודות חיתוך עם ציר x, ששיעוריהן (a , 0), (b , 0), (d , 0). הנקודה (c , e) היא נקודת הקיצון של f″(x).

🔵 סעיף 1: תחומי העלייה והירידה של הנגזרת f′(x) לפי גרף f″(x)

הביעו באמצעות a , b , c , d , e, אם יש צורך, את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת f′(x).

מטבלת הקשרים: f″ > 0 (מעל ציר x) ← f′ עולה.

f″ < 0 (מתחת לציר x) ← f′ יורדת.

עוברים על הגרף משמאל לימין (x = 0 לא בתחום):

x	x<a	a<x<0	0<x<b
f″(x)	+	−	−
f′(x)	↗	↘	↘

x	b<x<d	x>d
f″(x)	+	−
f′(x)	↗	↘

✅ f′ עולה: x < a , b < x < d

✅ f′ יורדת: a < x < 0 , 0 < x < b , x > d

🟣 סעיף 2: כמה נקודות קיצון וכמה נקודות פיתול יש ל-h(x) כאשר h′(x) = f″(x) − e

נתונה הפונקציה h(x), המקיימת h′(x) = f″(x) − e. הפונקציה h(x) מוגדרת לכל x ≠ 0. מצאו כמה נקודות קיצון וכמה נקודות פיתול יש לפונקציה h(x) (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם.

הגרף של h′(x) הוא הגרף של f″(x) מוזז למטה ב-e: כל נקודה יורדת ב-e.

נקודת הקיצון (c , e) יורדת ל-(c , 0) – נוגעת בציר x.

פיתול: קיצון של h′ ← פיתול של h. ל-h′ יש נקודת קיצון אחת (ב-x = c) ← נקודת פיתול אחת.

קיצון: קיצון של h ← חיתוך של h′ עם ציר x (עם החלפת סימן).

משמאל לנקודת החיתוך h′ > 0 ← h עולה; מימין h′ < 0 ← h יורדת ← מקסימום.

ב-x = c הגרף של h′ רק נוגע בציר x ונשאר שלילי משני הצדדים – אין שם קיצון.

✅ נקודת קיצון אחת (מקסימום) ונקודת פיתול אחת

📌 לזכור

💡 כשנתון גרף של נגזרת: חיתוך עם ציר x עם החלפת סימן ← קיצון של הפונקציה; קיצון של הנגזרת ← פיתול של הפונקציה. הזזה למטה ב-e מורידה כל נקודה ב-e.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא